平方根とはどのようなものなのか
まずは問題をやってみて慣れることから始めましょう
平方根を求めよ
次の平方根を求めてください。
① 25
② 16
③ 81
解答
① 25の平方根とは「2乗すると25になる数はいくつか」ということです。
答えは５だと思いますが、もう一つあります。
2乗すると25なので-5も答えになります。
25の平方根は±5 ということになります。
②16の平方根は±4です。
81の平方根は±9です。
次は７の平方根を求めてください。
2乗して7になる数字はありません。
そんな時はルートを使います。
$$7の平方根は±\sqrt{7}$$
問題
３６の平方根は？
１５の平方根は？
解答
３６の平方根は±6です。
$$15の平方根は±\sqrt{15}です。$$
平方根の性質
$$\sqrt{5}^2はいくつですか？$$
たしか平方根というのは２乗の反対です。
２乗の反対を２乗したわけですから、元に戻ります。
つまり答えは５になります。
$$\sqrt{5}^2=5$$
ここで覚えてほしいルートの性質は「√と２乗で消える」ということです。
$$\sqrt{7}^2=7$$
$$\sqrt{10}^2=10です。$$
$$反対に\sqrt{5^2}=5$$
$$反対に\sqrt{11^2}=11ということも言えます。$$
ルートの計算
ルートのかけ算
問題$$\sqrt{7}×\sqrt{2}を計算しよう$$
解答
ルートどうしのかけ算はそのまま計算してください。
$$\sqrt{7}×\sqrt{2}=\sqrt{14}$$
練習してみましょう。
$$①\sqrt{3}×\sqrt{2}=$$
$$②\sqrt{5}×\sqrt{3}=$$
$$③\sqrt{7}×\sqrt{7}=$$
解答
$$①\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$$
$$②\sqrt{5}×\sqrt{3}=\sqrt{15}$$
③番は工夫します。
$$先ほど\sqrt{7}^2=7という練習をしました。$$
$$③\sqrt{7}×\sqrt{7}=\sqrt{7}^2$$
と考えられるので答えは7になります。
$$③\sqrt{7}×\sqrt{7}=\sqrt{49}にもなります。$$
$$つまり\sqrt{49}=7といえます。$$
ルートの中の整理
$$\sqrt{12}について考えたいと思います。$$
$$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}と変形できます。さらに$$
$$\sqrt{4×3}=\sqrt{2^2×3}と変形できます。$$
$$\sqrt{2^2×3}=\sqrt{2^2}×\sqrt{3}$$
$$\sqrt{2^2}=2なので$$
$$\sqrt{2^2×3}=2\sqrt{3}$$
ルートの中はこのようにできるだけ簡単な形にしてください。
練習
$$①\sqrt{63}$$
$$②\sqrt{125}$$
$$③\sqrt{72}$$
解答
$$①\sqrt{63}=\sqrt{3^2×7}=3\sqrt{7}$$
$$②\sqrt{125}=\sqrt{5^2×5}=5\sqrt{5}$$
$$③\sqrt{72}=\sqrt{2^2×3^2×2}=6\sqrt{2}$$
有理化
有理化というのは分母のルートを消すことです。
例題$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
分母にルートがあります。
分数というのは分母と分子に同じ数をかけても全体の値は変わりません。
では何をかければ分母のルートが消えるのでしょうか。
$$分母分子に\sqrt{2}をかけてみましょう。$$
$$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$$
分母は２になってルートを消すことが出来ます。
$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
問題
有理化してみよう$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$分母分子に\sqrt{3}をかけてみましょう。$$
$$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
まとめ
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