中3数学の平方根の計算問題は学校の問題集が最適

勉強

平方根とはどのようなものなのか

まずは問題をやってみて慣れることから始めましょう

平方根を求めよ

次の平方根を求めてください。

① 25

② 16

③ 81

解答

① 25の平方根とは「2乗すると25になる数はいくつか」ということです。

答えは5だと思いますが、もう一つあります。

2乗すると25なので-5も答えになります。

25の平方根は±5 ということになります。

②16の平方根は±4です。

81の平方根は±9です。

次は7の平方根を求めてください。

2乗して7になる数字はありません。

そんな時はルートを使います。

$$7の平方根は±\sqrt{7}$$

問題

36の平方根は?

15の平方根は?

解答

36の平方根は±6です。

$$15の平方根は±\sqrt{15}です。$$

平方根の性質

$$\sqrt{5}^2はいくつですか?$$

たしか平方根というのは2乗の反対です。

2乗の反対を2乗したわけですから、元に戻ります。

つまり答えは5になります。

$$\sqrt{5}^2=5$$

ここで覚えてほしいルートの性質は「√と2乗で消える」ということです。

$$\sqrt{7}^2=7$$

$$\sqrt{10}^2=10です。$$

 

 

$$反対に\sqrt{5^2}=5$$

$$反対に\sqrt{11^2}=11ということも言えます。$$

 

ルートの計算

ルートのかけ算

問題$$\sqrt{7}×\sqrt{2}を計算しよう$$

解答

ルートどうしのかけ算はそのまま計算してください。

$$\sqrt{7}×\sqrt{2}=\sqrt{14}$$

練習してみましょう。

$$①\sqrt{3}×\sqrt{2}=$$

$$②\sqrt{5}×\sqrt{3}=$$

$$③\sqrt{7}×\sqrt{7}=$$

解答

$$①\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$$
$$②\sqrt{5}×\sqrt{3}=\sqrt{15}$$

③番は工夫します。

$$先ほど\sqrt{7}^2=7という練習をしました。$$


$$③\sqrt{7}×\sqrt{7}=\sqrt{7}^2$$

と考えられるので答えは7になります。

$$③\sqrt{7}×\sqrt{7}=\sqrt{49}にもなります。$$

$$つまり\sqrt{49}=7といえます。$$

ルートの中の整理

$$\sqrt{12}について考えたいと思います。$$

$$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}と変形できます。さらに$$

$$\sqrt{4×3}=\sqrt{2^2×3}と変形できます。$$

$$\sqrt{2^2×3}=\sqrt{2^2}×\sqrt{3}$$

$$\sqrt{2^2}=2なので$$

$$\sqrt{2^2×3}=2\sqrt{3}$$

ルートの中はこのようにできるだけ簡単な形にしてください。

練習

$$①\sqrt{63}$$

$$②\sqrt{125}$$

$$③\sqrt{72}$$

解答

$$①\sqrt{63}=\sqrt{3^2×7}=3\sqrt{7}$$
$$②\sqrt{125}=\sqrt{5^2×5}=5\sqrt{5}$$

$$③\sqrt{72}=\sqrt{2^2×3^2×2}=6\sqrt{2}$$

有理化

有理化というのは分母のルートを消すことです。

例題$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$

分母にルートがあります。

分数というのは分母と分子に同じ数をかけても全体の値は変わりません。

では何をかければ分母のルートが消えるのでしょうか。

$$分母分子に\sqrt{2}をかけてみましょう。$$

$$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$$

分母は2になってルートを消すことが出来ます。

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

問題

有理化してみよう$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$分母分子に\sqrt{3}をかけてみましょう。$$

$$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$

まとめ

36の平方根は±6
√と2乗で消える
有理化というのは分母のルートを消すこと
学校の問題集をコピーして何度も練習してください。
新たに問題集を買う必要はありません。
 

 

 

 

 

 

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